La democracia de las cinco clases: cómo conseguir 10 votos y quedarte mirando las sillas desde el pasillo.
Una clase práctica de matemáticas electorales para niños, adultos y políticos que todavía no han entendido por qué unos se sientan y otros se quedan de pie.
Imaginemos un colegio donde hay cinco clases y en cada una se van a elegir representantes para decidir qué se hace en el recreo. Como no caben todos en la mesa de reuniones, se han colocado unas cuantas sillas. Tres por clase, para ser exactos.
En cada clase hay 20 alumnos y todos participan en la votación; por tanto, el colegio dispone de un máximo de 100 votos: cinco clases multiplicadas por 20 alumnos.
No hay 500 votos, ni 270, ni una multitud misteriosa de estudiantes escondida detrás del gimnasio; hay cien alumnos, cien papeletas y quince sillas.
Se presentan varios grupos, entre ellos, dos que nos interesan especialmente: el Partido Nuevo, que acaba de llegar con muchas ganas de cambiar las cosas, y el Partido Veterano, que lleva tantos años en el colegio que probablemente ya conoce al conserje por su nombre y sabe dónde se guardan —y esconden— las tizas.
El Partido Nuevo tiene seguidores por todas partes, ha hecho campaña, ha convencido a muchos alumnos y espera que sus apoyos se traduzcan en representantes; el Veterano, en cambio, conoce muy bien el funcionamiento del colegio y sabe que no basta con conseguir votos: también importa dónde se consiguen y cómo se reparten las sillas.
Y aquí empieza la lección.
Primera clase: contar los votos
Para entender cómo puede funcionar esta peculiar aritmética, vamos a repartir los cien votos de la siguiente manera:
- El Partido Nuevo consigue 2 votos en cada una de las cinco clases. Total: 10 votos.
- El Partido Veterano concentra sus apoyos en la primera clase, donde consigue 8 votos. Total: 8 votos.
- El Partido A consigue 6 votos en cada clase. Total: 30 votos.
- El Partido B obtiene 4 votos en la primera clase y 6 en cada una de las otras cuatro. Total: 28 votos.
- El Partido C consigue 6 votos en cada una de las cuatro clases restantes. Total: 24 votos.
En la primera clase, el reparto queda así:
| Partido | Votos |
|---|---|
| Partido Veterano | 8 |
| Partido A | 6 |
| Partido B | 4 |
| Partido Nuevo | 2 |
| Total | 20 |
En cada una de las otras cuatro clases, el resultado es idéntico:
| Partido | Votos |
|---|---|
| Partido A | 6 |
| Partido B | 6 |
| Partido C | 6 |
| Partido Nuevo | 2 |
| Total | 20 |
Sumamos los resultados de las cinco clases y obtenemos los cien votos del colegio.
El Partido Nuevo ha conseguido 10 votos. El Veterano, 8.
El Nuevo tiene más votos que el Veterano, no muchos más, pero más. Y ahora viene la pregunta: ¿quién conseguirá sentarse?
Si esto fuera un concurso de popularidad, el Nuevo podría sacar pecho. Si fuera un campeonato de aplausos, quizá hasta pediría un trofeo.
Pero esto no es un concurso de popularidad sino que es un reparto de sillas y las mismas, como pronto descubriremos, tienen sus propias matemáticas.
Segunda clase: el misterio de las sillas desaparecidas
Cada clase tiene tres sillas. Eso significa que cada una debe repartir tres representantes, sin importar cuántos candidatos se presenten ni cuántas ganas tengan de sentarse.
El Partido Nuevo cuenta sus diez votos totales y empieza a hacer planes.
—Tenemos diez votos —dice su portavoz—. ¡Algo nos tocará!
El Veterano, que ha conseguido ocho, sonríe con prudencia.
—Ya veremos.
—¡Pero nosotros tenemos más votos que vosotros!
—En el conjunto del colegio, sí.
—¿Y entonces?
—Entonces hay que repartir las sillas.
El Nuevo mira la mesa, mira las sillas y vuelve a mirar la mesa. Empieza a sospechar que se ha matriculado en una asignatura optativa que no aparecía en el folleto electoral porque los votos no se suman simplemente al final para entregar una silla por cada determinada cantidad de papeletas. En este ejemplo, el reparto se hace por separado en cada clase y eso… cambia las cosas.
El Partido Nuevo consigue dos votos en todas las clases, pero no llega a situarse entre los tres cocientes ganadores de ninguna de ellas; el Veterano, por el contrario, concentra sus ocho votos en una sola clase y logra entrar entre los tres primeros.
El resultado parece una broma matemática, pero las cuentas se pueden comprobar; eso sí, conviene aclararlo desde el principio: este es un ejemplo ficticio diseñado para mostrar cómo puede ocurrir esa paradoja, pero en absoluto es el resultado de unas elecciones reales.
Tercera clase: aparece la ley D’Hondt
La ley D’Hondt es una fórmula utilizada en España para repartir escaños entre candidaturas en las circunscripciones electorales, como las provincias en las elecciones al Congreso.
Su nombre procede de Victor D’Hondt, un jurista y matemático belga que desarrolló esta fórmula en 1878. Se creó como un método para distribuir representantes de forma proporcional a los votos obtenidos.
Su funcionamiento básico consiste en dividir los votos de cada candidatura entre 1, 2, 3, 4 y así sucesivamente. Después se ordenan los cocientes y se adjudican los escaños disponibles a los valores más altos, respetando las demás reglas electorales aplicables.
Dicho para niños: cada partido presenta una lista de números y las sillas se reparten siguiendo el orden de los números ganadores.
Dicho para adultos: la representación depende de los resultados de cada circunscripción, del número de escaños que se eligen en ella y de la competencia entre las candidaturas.
Dicho para políticos: no basta con enseñar una montaña de votos en una rueda de prensa; conviene comprobar cuántos se convierten en escaños.
Veamos qué ocurre en nuestra primera clase.
El Partido Veterano tiene 8 votos, así que sus primeros cocientes son 8, 4 y 2.
El Partido A tiene 6 votos: sus cocientes son 6, 3 y 2.
El Partido B tiene 4 votos: sus cocientes son 4, 2 y 1,33.
El Partido Nuevo tiene 2 votos: sus cocientes son 2, 1 y 0,67.
Para simplificar, nos quedamos con los tres cocientes más altos:
- Partido Veterano: 8.
- Partido A: 6.
- Partido B: 4.
Las tres sillas de la primera clase ya tienen dueño.
El Partido Nuevo, con sus dos votos, se queda fuera, no ha perdido sus votos, no han desaparecido en una papelera y nadie se los ha llevado a casa, simplemente, no le han bastado para obtener uno de los tres puestos disponibles.
En las otras cuatro clases ocurre algo parecido. Los partidos A, B y C consiguen seis votos cada uno. Sus primeros cocientes son 6, 6 y 6, de modo que se llevan las tres sillas de cada aula.
El Nuevo vuelve a quedarse mirando desde el pasillo.
Cinco clases, quince sillas y ni una sola para él.
Y así es como diez votos pueden quedarse sin representación mientras otra candidatura, con ocho, consigue una silla.
Cuarta clase: el caso real de Coalición Canaria
La paradoja no se limita a los ejemplos escolares. También podemos encontrar ejemplos reales en las elecciones generales españolas.
Tomemos como referencia las elecciones del 23 de julio de 2023.
Coalición Canaria obtuvo 114.718 votos en el conjunto de España y consiguió un diputado en el Congreso. Por su parte, PACMA obtuvo 165.768 votos, pero no consiguió ningún diputado. Los resultados oficiales publicados por el Boletín Oficial del Estado permiten comprobar estas cifras. Fuente: BOE, resultados oficiales de las elecciones generales de 2023.
Es decir, Coalición Canaria consiguió representación parlamentaria con menos votos en el conjunto del país que PACMA, que se quedó sin ella.
¿Por qué?
La clave está en que los escaños no se reparten sumando todos los votos de España y distribuyéndolos después entre los partidos sino que se reparten por circunscripciones electorales, principalmente las provincias, y cada una tiene un número determinado de diputados.
Coalición Canaria concentró sus apoyos en Canarias, donde obtuvo los votos necesarios para conseguir representación. PACMA, en cambio, tuvo sus votos repartidos por distintas provincias, sin alcanzar los cocientes necesarios para conseguir un escaño en ninguna de ellas.
En otras palabras, no basta con conseguir muchos votos en todo el país: también importa dónde se consiguen y cuántos escaños se reparten en cada lugar.
¿Significa esto que los votos de PACMA no contaron? No. Simplemente significa que no se transformaron en diputados.
¿Significa que la ley D’Hondt, por sí sola, explica todo lo sucedido? Tampoco. Influyen también la distribución territorial de los votos, el número de escaños asignados a cada provincia y las demás reglas electorales.
El ejemplo nos ayuda a comprender una cuestión fundamental: un partido puede obtener más votos en el conjunto de España y quedarse sin representación, mientras otro, con menos votos totales, consigue un diputado.
Y esto abre un debate legítimo. Quienes defienden el sistema pueden argumentar que las circunscripciones permiten que los distintos territorios tengan representación propia. Quienes lo critican pueden señalar que los partidos pequeños con apoyos dispersos tienen más dificultades para convertir sus votos en escaños.
Son dos cuestiones diferentes: una es cómo funciona el sistema y otra es si queremos mantenerlo o reformarlo y aquí conviene discutir ambas con datos, no solamente con indignación.
Quinta clase: el Veterano ya estaba sentado
Llegamos a la escena final.
El Partido Nuevo ha conseguido diez votos. El Partido Veterano, ocho. Los demás partidos suman 82 votos.
El Nuevo presume de haber superado al Veterano pero el Veterano señala su silla y responde que las reglas eran conocidas por todos.
—¡Pero tenemos más votos que vosotros! —protesta el Nuevo.
—En el conjunto del colegio —responde el Veterano.
—¡Diez frente a ocho!
—Correcto.
—¡Y nosotros no tenemos ni una silla!
—También correcto.
El portavoz del Nuevo se vuelve hacia el profesor de Matemáticas.
—¿Y esto es legal?
—En el ejemplo, el reparto se ha hecho aplicando la fórmula a los votos de cada clase y asignando tres sillas por aula.
—¿Y es proporcional?
—Depende de qué entiendas por proporcional y de si te refieres a cada clase o al conjunto del colegio.
El portavoz se queda pensativo. El Veterano, mientras tanto, coloca una mochila debajo de su silla para reservar sitio a la hora del recreo.
El profesor añade:
—Tener más votos en el conjunto no garantiza conseguir más representantes en todos los sistemas electorales. Para saber qué ocurre hay que hacer las cuentas.
Y aquí está la cuestión importante: un resultado puede ser válido según las reglas y, al mismo tiempo, abrir un debate legítimo sobre si esas reglas convierten los votos en representación de la manera más adecuada.
Quien defiende el sistema puede argumentar que las circunscripciones territoriales permiten que distintas zonas tengan representación propia y que hacen falta reglas claras para repartir un número limitado de escaños.
Quien lo critica puede señalar que los votos dispersos de los partidos pequeños tienen más dificultades para traducirse en representación y que el resultado no siempre refleja proporcionalmente el total de apoyos obtenidos en el conjunto del país.
Son dos cuestiones diferentes: una es cómo funciona el sistema; otra, si queremos mantenerlo o reformarlo.
Y conviene discutir ambas con datos, no solamente con indignación.
Sexta clase: el recuento final y las quince sillas
Se acabó la campaña. Se cerraron las urnas. Se contaron las papeletas. Nadie puede añadir votos después del recreo, ni siquiera el delegado que asegura que su primo también quería votar.
El recuento definitivo de nuestro ejemplo ficticio queda así:
| Partido | Votos totales | Sillas conseguidas |
|---|---|---|
| Partido A | 30 | 5 |
| Partido B | 28 | 5 |
| Partido C | 24 | 4 |
| Partido Veterano | 8 | 1 |
| Partido Nuevo | 10 | 0 |
| TOTAL | 100 | 15 |
Las cifras cuadran: cien votos y quince sillas. Ni una papeleta de más ni una silla fantasma escondida detrás de la pizarra.
El Partido A consigue cinco representantes. El B, otros cinco. El C obtiene cuatro. El Veterano logra uno. El Nuevo, ninguno.
Ahora imaginemos la rueda de prensa posterior al recuento.
El Partido A anuncia que ha conseguido cinco sillas y promete utilizarlas con responsabilidad.
El Partido B anuncia que también ha conseguido cinco y asegura que no se dejará quitar el sitio.
El Partido C celebra sus cuatro representantes y pide una mesa algo más grande.
El Veterano posa junto a su única silla. Quizá no tenga una gran mayoría, pero al menos no necesita pedir permiso para sentarse.
Y el Partido Nuevo comparece ante los periodistas.
—Hemos conseguido diez votos —declara su portavoz—, dos más que el Partido Veterano.
Un periodista levanta la mano.
—¿Y cuántas sillas han conseguido?
—Ninguna.
—¿Ninguna?
—Ninguna.
—¿Y el Veterano?
—Una.
El periodista mira sus notas, mira al portavoz y vuelve a mirar sus notas. Por un momento piensa que ha escrito mal los resultados.
—¿Y cómo explican ustedes esta diferencia?
El portavoz suspira.
—Nos han faltado cocientes.
El periodista cierra la libreta.
—Comprendo. ¿Y tienen previsto recurrir?
—No. Tenemos previsto volver a presentarnos y estudiar mejor las matemáticas.
En el fondo del aula, el Veterano ya está sentado. No hace falta que diga nada: la silla habla por él.
Moraleja: cien papeletas, quince sillas y una pregunta incómoda
En política, como en el colegio, tener muchos seguidores y conseguir representación no son exactamente la misma cosa.
Nuestro ejemplo tiene cinco clases, veinte alumnos por clase y cien votos. El Partido Nuevo obtiene diez votos, más que los ocho del Veterano, pero termina sin representación. El Veterano, con menos votos, consigue una silla porque concentra sus apoyos en una clase donde alcanza uno de los tres cocientes ganadores.
Mientras tanto, los partidos A, B y C se reparten las otras catorce sillas gracias a sus resultados en las cinco aulas.
La ley D’Hondt no pregunta cuántos aplausos se han escuchado en todo el colegio, simplemente ordena los cocientes de cada candidatura para repartir los escaños disponibles en cada circunscripción.
Y así terminamos nuestra lección de matemáticas electorales:
En el colegio hay cien votos y quince sillas. El Partido Nuevo puede tener más votos que el Veterano y aun así quedarse de pie y no porque sus votos desaparezcan, sino porque el reparto se hace con unas reglas que determinan cuáles se convierten en representación.
La pregunta no es solamente quién ha conseguido más votos; también es cómo se convierten esos votos en representantes y qué consecuencias tienen las reglas que hemos elegido.
Ahora que se acercan las elecciones, volveremos a escuchar hablar de la ley D’Hondt. Unos partidos dirán que les beneficia; otros, que les perjudica y, probablemente, todos tendrán sus propios argumentos pero antes de quedarnos con el discurso de unos o de otros, conviene recordar algo: las reglas pueden ser iguales para todos, pero sus efectos no tienen por qué ser los mismos para todos los partidos.
Por eso, no deberíamos considerar justo un sistema únicamente cuando favorece a quienes nos gustan, ni injusto solo cuando perjudica a quienes apoyamos.
Las matemáticas pueden explicar cómo se ha repartido una silla. Lo que no pueden decidir por nosotros es si el reparto nos parece el más justo.
Porque la democracia no consiste únicamente en contar votos, sino también en preguntarnos si la manera de transformarlos en representación refleja adecuadamente la voluntad de los ciudadanos.
Y esa conversación merece producirse con datos, argumentos y sentido crítico, no solamente cuando se acercan las elecciones o cuando las cuentas no salen a favor de los nuestros.
Y luego nos extrañamos de que algunos alumnos salgan del recuento preguntando si, además de votar, había que llevar invitación.
La respuesta es que no. Pero conocer las reglas antes de entrar en el aula ayuda bastante a entender quién acaba sentado a la mesa.
Y, sobre todo, evita que alguien confunda una silla vacía con un voto perdido.
Consultor empresarial.
Germánico en organización, perseverante en las metas, pragmático en soluciones y latino en la vida personal.
¿Y por qué no?